2.2　コンボリューション逆投影法

コンボリューション補正逆投影法、もしくはコンボリューション逆投影法（CBP ： Convolution Back Projection）は、逆投影が作るボケの補正に相当する操作を、投影データに対して事前に施す方法です。まず、ある定められた補正関数（コンボリューション関数） $h$ と投影データをコンボリューション（畳み込み積分）することで、補正済み投影データ $\hat{p}$ を得ます。$\hat{p}$ は 投影データ $p(X,\theta )$ と補正関数 $h(X)$ を用いて、次のように表されます。

$$\hat{p}(X,\theta )=p(X,\theta )\ast h(X)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h(X-X^{\prime })p(X^{\prime },\theta )d{X}^{\prime }$$

補正済みの投影データ $\hat{p}$ を逆投影することで、ボケの無い再構成画像を得ることができます。コンボリューション関数と呼ばれる関数 $h$ の基本形状は、中央がデルタ関数的な正値、左右が負の値で$0$に漸近しており、波形積分値が$0$というものになります。これは、遠くまで伸びたボケを補正するデコンボリューションの関数形であることを意味します。コンボリューション関数 $h$ の具体例として、Ramachandran と Lakshminaraynan による $h_{\mathrm{R}\mathrm{L}}$ を以下に示します。

$$h_{\mathrm{R}\mathrm{L}}(X)=h(n\cdot \mathrm{\Delta }X)=\{\begin{array}{ll}-{\displaystyle \frac{1}{2}\frac{1}{{\pi }^2\cdot \mathrm{\Delta }{X}^2\cdot n^2}}& (n=\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{d})\\ 0& (n=\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n})\end{array}$$

また、Shepp と Logan による $h_{\mathrm{S}\mathrm{L}}$ を以下に示します。

$$h_{\mathrm{S}\mathrm{L}}(X)=h(n\cdot \mathrm{\Delta }X)=-\frac{4}{\pi }\frac{1}{\mathrm{\Delta }{X}^2}\frac{1}{4n^2-1}$$

多くの CT装置では、これらのコンボリューション関数が用いられます。実際に、コンボリューション関数 $h_{\mathrm{S}\mathrm{L}}$ を用いると投影データがどのようになるのか、見てみましょう。前節で得た、0，10，0 の投影データに対してのコンボリューション結果は次のようになります。

このように、投影データはコンボリューションによって正値の両端がえぐれたような形となります。このエグレが逆投影によるボケと互いに相殺することで、エッジの強調された理想的な再構成画像を得ることができます。実際に、補正済みの投影データを空画像に対して逆投影していく様子を見てみましょう。

まずは左から右方向へ、逆投影します。

続いて、左下方向から右上方向への逆投影です。

下方向から上方向への逆投影です。

最後に、右下方向から左上方向への逆投影です。

中央の値は増加していき $200$ となっていますが、周囲の値は正の値と負の値で相殺され、最終的には $-1$ となっています。

中央の値が $10$ になるように全体をスケーリングすると、周囲の値は $-0.05$ となり、ほぼ元の数値ファントムを再現することに成功しています。このように、投影データに対してコンボリューション補正を行うことで逆投影時の画像のボケを消すことが、コンボリューション逆投影法の概要です。ここでは、数式の詳説は割愛します。