コンプトン効果の導出 もう一度

復習を兼ねて、以前導出したコンプトン効果の式の導出、証明をもう一度。

コンプトン効果とは、X線などの電磁波を物質に照射したとき、
電磁波の波長が長くなり、方向が変化する現象を指します(下図参照)。
波長が長くなるのは、衝突の際に電磁波のエネルギーの一部が失われるためです。

compton

また、入射線波長\lambdaと散乱線波長\lambdaの間には次の関係が成り立ちます。

\displaystyle \Delta \lambda = \lambda

  \lambda
: 散乱線波長
  \lambda
: 入射線波長
  h
: プランク定数
  m
: 電子の質量
  c
: 高速
  \phi
: 散乱角

 

今回、コンプトン効果を表すこの式が導かれることを証明していきます。
導出は、エネルギー保存則と運動量保存則により方程式を立てることから始まります。

 

エネルギー保存則

電磁波(光)が物質(電子)に衝突する前と、衝突した後のエネルギーの総和を考えます。
光のエネルギーはh\nuであり、
特殊相対性理論により、静止している電子のエネルギーはmc^2
運動している電子のエネルギーは\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}と表されます。
ここで、\nuは光の振動数、pは電子の運動量を表します。
衝突の前と後でエネルギーの総和は保存されるため、次の方程式が成立します。

\displaystyle h\nu + m c^2 = h\nu

 

運動量保存則

次は、運動量の保存を考えます。
これまた特殊相対性理論により、
E=mc^2=mc\cdot c=pc=h\nuであるため、光の運動量p
p=\frac{h\nu}{c}と表されます。
衝突前と衝突後で運動量は保存されるので、次の2つの式が成立します。
(次式において、pは電子の運動量を表します。)

x方向の運動量保存

\displaystyle h\nu = \frac{h\nu

y方向の運動量保存

\displaystyle 0 = \frac{h\nu

 

コンプトン効果の導出

ここまでで得られた式(1)、(2)、(3)を用いて、
コンプトン効果の式の導出をしていきます。

式(1)を変形して自乗すると、

\displaystyle p^2c^2 + m^2c^4 = (h\nu-h\nu

式(2)、(3)を変形・自乗して両辺を加えると、

\displaystyle p^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta) = \left(\frac{h\nu}{c}-\frac{h\nu

式(5)を式(4)に代入して整理していくと、

\displaystyle -2h^2\nu\nu

いま、\nu=\frac{c}{\lambda}であるため、

\displaystyle \frac{\nu-\nu

であり、式(7)を式(6)に代入することで、

\displaystyle \frac{\lambda

以上により、冒頭のコンプトン効果を表す式が導出されました。


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