科学コンプトン効果の導出　もう一度

コンプトン効果の導出　もう一度

Toru Kano •2013年8月8日科学

目次

エネルギー保存則
運動量保存則
コンプトン効果の導出

復習を兼ねて、以前導出したコンプトン効果の式の導出、証明をもう一度。

コンプトン効果とは、X線などの電磁波を物質に照射したとき、
電磁波の波長が長くなり、方向が変化する現象を指します（下図参照）。
波長が長くなるのは、衝突の際に電磁波のエネルギーの一部が失われるためです。

また、入射線波長 $\lambda$ と散乱線波長 $\lambda$ の間には次の関係が成り立ちます。

$\displaystyle \Delta \lambda = \lambda$

　　 $\lambda$

：　散乱線波長

　　 $\lambda$

：　入射線波長

　　 $h$

：　プランク定数

　　 $m$

：　電子の質量

　　 $c$

：　高速

　　 $\phi$

：　散乱角

今回、コンプトン効果を表すこの式が導かれることを証明していきます。
導出は、エネルギー保存則と運動量保存則により方程式を立てることから始まります。

エネルギー保存則

電磁波（光）が物質（電子）に衝突する前と、衝突した後のエネルギーの総和を考えます。
光のエネルギーは $h\nu$ であり、
特殊相対性理論により、静止している電子のエネルギーは $mc^2$
運動している電子のエネルギーは $\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}$ と表されます。
ここで、 $\nu$ は光の振動数、 $p$ は電子の運動量を表します。
衝突の前と後でエネルギーの総和は保存されるため、次の方程式が成立します。

$\displaystyle h\nu + m c^2 = h\nu$

運動量保存則

次は、運動量の保存を考えます。
これまた特殊相対性理論により、
$E=mc^2=mc\cdot c=pc=h\nu$ であるため、光の運動量 $p$ は
$p=\frac{h\nu}{c}$ と表されます。
衝突前と衝突後で運動量は保存されるので、次の2つの式が成立します。
（次式において、 $p$ は電子の運動量を表します。）

x方向の運動量保存

$\displaystyle h\nu = \frac{h\nu$

y方向の運動量保存

$\displaystyle 0 = \frac{h\nu$

コンプトン効果の導出

ここまでで得られた式(1)、(2)、(3)を用いて、
コンプトン効果の式の導出をしていきます。

式(1)を変形して自乗すると、

$\displaystyle p^2c^2 + m^2c^4 = (h\nu-h\nu$

式(2)、(3)を変形・自乗して両辺を加えると、

$\displaystyle p^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta) = \left(\frac{h\nu}{c}-\frac{h\nu$

式(5)を式(4)に代入して整理していくと、

$\displaystyle -2h^2\nu\nu$

いま、 $\nu=\frac{c}{\lambda}$ であるため、

$\displaystyle \frac{\nu-\nu$

であり、式(7)を式(6)に代入することで、

$\displaystyle \frac{\lambda$

以上により、冒頭のコンプトン効果を表す式が導出されました。

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