復習を兼ねて、以前導出したコンプトン効果の式の導出、証明をもう一度。
コンプトン効果とは、X線などの電磁波を物質に照射したとき、
電磁波の波長が長くなり、方向が変化する現象を指します(下図参照)。
波長が長くなるのは、衝突の際に電磁波のエネルギーの一部が失われるためです。
また、入射線波長と散乱線波長
の間には次の関係が成り立ちます。
: 散乱線波長
: 入射線波長
: プランク定数
: 電子の質量
: 高速
: 散乱角
今回、コンプトン効果を表すこの式が導かれることを証明していきます。
導出は、エネルギー保存則と運動量保存則により方程式を立てることから始まります。
エネルギー保存則
電磁波(光)が物質(電子)に衝突する前と、衝突した後のエネルギーの総和を考えます。
光のエネルギーはであり、
特殊相対性理論により、静止している電子のエネルギーは
運動している電子のエネルギーはと表されます。
ここで、は光の振動数、
は電子の運動量を表します。
衝突の前と後でエネルギーの総和は保存されるため、次の方程式が成立します。
運動量保存則
次は、運動量の保存を考えます。
これまた特殊相対性理論により、
であるため、光の運動量
は
と表されます。
衝突前と衝突後で運動量は保存されるので、次の2つの式が成立します。
(次式において、は電子の運動量を表します。)
x方向の運動量保存
y方向の運動量保存
コンプトン効果の導出
ここまでで得られた式(1)、(2)、(3)を用いて、
コンプトン効果の式の導出をしていきます。
式(1)を変形して自乗すると、
式(2)、(3)を変形・自乗して両辺を加えると、
式(5)を式(4)に代入して整理していくと、
いま、であるため、
であり、式(7)を式(6)に代入することで、
以上により、冒頭のコンプトン効果を表す式が導出されました。