2.2　コンボリューション逆投影法

コンボリューション補正逆投影法、もしくはコンボリューション逆投影法（CBP ： Convolution Back Projection）は、逆投影が作るボケの補正に相当する操作を、投影データに対して事前に施す方法です。まず、ある定められた補正関数（コンボリューション関数） $h$ と投影データをコンボリューション（畳み込み積分）することで、補正済み投影データ $\hat{p}$ を得ます。$\hat{p}$ は 投影データ $p(X, \theta)$ と補正関数 $h(X)$ を用いて、次のように表されます。

\begin{equation}
\hat{p}(X,\theta) = p(X,\theta) \ast h(X) = \int_{-\infty}^{\infty}h(X-X’)p(X’, \theta) dX’
\end{equation}

補正済みの投影データ $\hat{p}$ を逆投影することで、ボケの無い再構成画像を得ることができます。コンボリューション関数と呼ばれる関数 $h$ の基本形状は、中央がデルタ関数的な正値、左右が負の値で$0$に漸近しており、波形積分値が$0$というものになります。これは、遠くまで伸びたボケを補正するデコンボリューションの関数形であることを意味します。コンボリューション関数 $h$ の具体例として、Ramachandran と Lakshminaraynan による $h_{\rm RL}$ を以下に示します。

\begin{equation}
h_{\rm RL}(X) = h(n\cdot \Delta X) =
\begin{cases}
-\displaystyle\frac{1}{2}\frac{1}{\pi^2 \cdot \Delta X^2 \cdot n^2} & 　(n = {\rm odd})\\
0 &　(n = {\rm even})
\end{cases}\\
\end{equation}

また、Shepp と Logan による $h_{\rm SL}$ を以下に示します。

\begin{equation}
h_{\rm SL}(X) = h(n\cdot \Delta X) = -\frac{4}{\pi}\frac{1}{\Delta X^2}\frac{1}{4n^2-1}
\end{equation}

多くの CT装置では、これらのコンボリューション関数が用いられます。実際に、コンボリューション関数 $h_{\rm SL}$ を用いると投影データがどのようになるのか、見てみましょう。前節で得た、0，10，0 の投影データに対してのコンボリューション結果は次のようになります。

このように、投影データはコンボリューションによって正値の両端がえぐれたような形となります。このエグレが逆投影によるボケと互いに相殺することで、エッジの強調された理想的な再構成画像を得ることができます。実際に、補正済みの投影データを空画像に対して逆投影していく様子を見てみましょう。

まずは左から右方向へ、逆投影します。

続いて、左下方向から右上方向への逆投影です。

下方向から上方向への逆投影です。

最後に、右下方向から左上方向への逆投影です。

中央の値は増加していき $200$ となっていますが、周囲の値は正の値と負の値で相殺され、最終的には $-1$ となっています。

中央の値が $10$ になるように全体をスケーリングすると、周囲の値は $-0.05$ となり、ほぼ元の数値ファントムを再現することに成功しています。このように、投影データに対してコンボリューション補正を行うことで逆投影時の画像のボケを消すことが、コンボリューション逆投影法の概要です。ここでは、数式の詳説は割愛します。