コンプトン効果の導出　もう一度

復習を兼ねて、以前導出したコンプトン効果の式の導出、証明をもう一度。

コンプトン効果とは、X線などの電磁波を物質に照射したとき、
電磁波の波長が長くなり、方向が変化する現象を指します（下図参照）。
波長が長くなるのは、衝突の際に電磁波のエネルギーの一部が失われるためです。

また、入射線波長$\lambda$と散乱線波長$\lambda’$の間には次の関係が成り立ちます。

\begin{equation}
\displaystyle \Delta \lambda = \lambda’ – \lambda = \frac{h}{mc}(1-\cos\phi)
\end{equation}

 

今回、コンプトン効果を表すこの式が導かれることを証明していきます。
導出は、エネルギー保存則と運動量保存則により方程式を立てることから始まります。

 

エネルギー保存則

電磁波（光）が物質（電子）に衝突する前と、衝突した後のエネルギーの総和を考えます。
光のエネルギーは$h\nu$であり、
特殊相対性理論により、静止している電子のエネルギーは$$mc^2$$
運動している電子のエネルギーは$\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}$と表されます。
ここで、$\nu$は光の振動数、$p$は電子の運動量を表します。
衝突の前と後でエネルギーの総和は保存されるため、次の方程式が成立します。

$$
h\nu + m c^2 = h\nu^{\prime\prime} + \sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}\ \ \ \ \ (1)
$$

 

運動量保存則

次は、運動量の保存を考えます。
これまた特殊相対性理論により、
$E=mc^2=mc\cdot c=pc=h\nu$であるため、光の運動量$p$は
$p=\frac{h\nu}{c}$と表されます。
衝突前と衝突後で運動量は保存されるので、次の2つの式が成立します。
（次式において、$p$は電子の運動量を表します。）

x方向の運動量保存

$$
h\nu = \frac{h\nu^{\prime\prime}}{c} \cos\phi+ p\cos\theta\ \ \ \ \ (2)
$$

y方向の運動量保存

$$
0 = \frac{h\nu^{\prime\prime}}{c} \sin\phi-p\sin\theta\ \ \ \ \ (3)
$$

 

コンプトン効果の導出

ここまでで得られた式(1)、(2)、(3)を用いて、
コンプトン効果の式の導出をしていきます。

式(1)を変形して自乗すると、

$$
p^2c^2 + m^2c^4 = (h\nu-h\nu^{\prime\prime}+m c^2)^2\\
p^2c^2 = h^2\nu^2+h^2\nu^{\prime\prime 2}-2h^2\nu\nu^{\prime\prime}+2h(\nu-\nu^{\prime\prime})mc^2\ \ \ \ \ (4)
$$

式(2)、(3)を変形・自乗して両辺を加えると、

\begin{align} p^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta) &= \left(\frac{h\nu}{c}-\frac{h\nu^{\prime\prime}}{c}\cos\phi\right)^2 + \left(\frac{h\nu^{\prime\prime}}{c}\sin\phi\right)^2\\ p^2 &= \left(\frac{h\nu}{c}\right)^2-2\frac{h^2\nu\nu^{\prime\prime}}{c^2}\cos\phi + \left(\frac{h\nu^{\prime\prime}}{c}\right)^2(\cos^2\phi+\sin^2\phi)\\ p^2 &= \left(\frac{h\nu}{c}\right)^2-2\frac{h^2\nu\nu^{\prime\prime}}{c^2}\cos\phi + \left(\frac{h\nu^{\prime\prime}}{c}\right)^2\ \ \ \ \ (5) \end{align}

式(5)を式(4)に代入して整理していくと、

\begin{align} -2h^2\nu\nu^{\prime\prime}\cos\phi &= -2h^2\nu\nu^{\prime\prime}+2h(\nu-\nu^{\prime\prime})mc^2\\ 2h^2\nu\nu^{\prime\prime}(1-\cos\phi) &= 2h(\nu-\nu^{\prime\prime})mc^2\\ \frac{\nu-\nu^{\prime\prime}}{\nu\nu^{\prime\prime}} &= \frac{h}{mc^2}(1-\cos\phi)\ \ \ \ \ (6) \end{align}

いま、$$\nu=\frac{c}{\lambda}$$であるため、

$$
\frac{\nu-\nu^{\prime\prime}}{\nu\nu^{\prime\prime}} = \frac{\frac{c}{\lambda}-\frac{c}{\lambda^{\prime\prime}}}{\frac{c}{\lambda}\cdot\frac{c}{\lambda^{\prime\prime}}} = \frac{\frac{\lambda^{\prime\prime} – \lambda}{\lambda \lambda^{\prime\prime}}c}{\frac{c^2}{\lambda\lambda^{\prime\prime}}} = \frac{\lambda^{\prime\prime}-\lambda}{c}\ \ \ \ \ (7) $$

であり、式(7)を式(6)に代入することで、

$$
\frac{\lambda^{\prime\prime}-\lambda}{c} = \frac{h}{mc^2}(1-\cos\phi)\\
\lambda^{\prime\prime}-\lambda = \frac{h}{mc}(1-\cos\phi)
$$

以上により、冒頭のコンプトン効果を表す式が導出されました。